2026年10月24日の解答

この積分を \(I\) とおく。写像 \(w\mapsto we^{w}\) は \([0,\infty)\) からそれ自身への滑らかな増加全単射であるから，\(W\) は well-defined で連続かつ増加であり，\(W(0)=0\) である。積分は収束する。実際 \(x\to\infty\) で \(W(x^{-2})\sim x^{-2}\) であり，\(x\to0^{+}\) では，\(w\ge1\) ならば \(we^{w}\ge e^{w}\) であるから，小さい \(x\) に対して \(W(x^{-2})\le\ln(x^{-2})\) となり，\(\ln^{2}x\) は \(0\) の近くで可積分である。

素直な方法がうまくいかない理由。\(W\) は初等的な閉じた形をもたず，そのラグランジュ級数 \(W(y)=\sum_{k\ge1}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}y^{k}\) は \(|y|<1/e\) でしか収束しないので，積分範囲全体で項別積分することはできない。使える情報は定義式 \(we^{w}=y\) だけであり，この関係式がすべてを処理するように積分を書き直す必要がある。

第1段：見せかけの層を外す。\(y=x^{-2}\) とおくと \(x=y^{-1/2}\)，\(dx=-\tfrac12y^{-3/2}\,dy\) であり，積分区間の向きが入れ替わって \[I=\frac12\int_{0}^{\infty}W(y)^{2}\,y^{-3/2}\,dy\] を得る。

第2段：\(W\) そのものを変数にする。\(y=we^{w}\)，\(w\in(0,\infty)\) とおく。\(w\mapsto we^{w}\) は滑らかな増加全単射であるから，これは正当な変数変換であり，\(W(y)=w\)，\(dy=(1+w)e^{w}\,dw\)，\(y^{-3/2}=w^{-3/2}e^{-3w/2}\) となる。よって \[I=\frac12\int_{0}^{\infty}w^{2}\cdot w^{-3/2}e^{-3w/2}\cdot(1+w)e^{w}\,dw=\frac12\int_{0}^{\infty}\bigl(w^{1/2}+w^{3/2}\bigr)e^{-w/2}\,dw\] を得る。指数関数はひとつの因子 \(e^{-w/2}\) にまとまり，超越関数は姿を消した。

第3段：2つのガンマ積分。\(\int_{0}^{\infty}w^{s-1}e^{-w/2}\,dw=2^{s}\Gamma(s)\) を用いれば \[I=\frac12\Bigl(2^{3/2}\Gamma(\tfrac32)+2^{5/2}\Gamma(\tfrac52)\Bigr)=\frac12\Bigl(2\sqrt2\cdot\tfrac{\sqrt\pi}{2}+4\sqrt2\cdot\tfrac{3\sqrt\pi}{4}\Bigr)=\frac12\bigl(\sqrt{2\pi}+3\sqrt{2\pi}\bigr)=2\sqrt{2\pi}\] である。同じ計算により \(\int_{0}^{\infty}W(x^{-2})\,dx=\sqrt{2\pi}\) も得られ，\(W\) を2乗するとちょうど値が2倍になる。

数値検証。\(W\) をハレー法で計算し，\(x=e^{u}\) とおいて \([-40,60]\) 上で100点ガウス・ルジャンドル複合求積（各半分で40区間と200区間）により \(I\) を求めた。また第2段の \(w\) による形でも独立に計算した。いずれも \(2\sqrt{2\pi}=5.0132565492620\ldots\) と \(3\times10^{-14}\) 以下の誤差で一致した。

第1段：等式は根についての主張である。\(P(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-r_{i})\) とおく。\((-1)^{n}P(-x)=\prod_{i}(x+r_{i})\) であるから \((-1)^{n}P(x)P(-x)=\prod_{i}(x^{2}-r_{i}^{2})\) となる。よって等式は \(P(x^{2})=\prod_{i}(x^{2}-r_{i}^{2})\) と同値であり，両辺は \(y=x^{2}\) の多項式であるから，\(P(y)=\prod_{i}(y-r_{i}^{2})\) と同値である。すなわち根の多重集合 \(\{r_{1},\dots,r_{n}\}\) は，各根を2乗しても変わらない。（これは \(P\) がグレッフェの根2乗変換の不動点であるということである。）\(n\) 次モニック多項式と \(n\) 個の複素数からなる多重集合は一対一に対応するから，このような多重集合を数えればよい。

第2段：不変な多重集合の形。相異なる根の集合を \(S\)，\(z\in S\) の重複度を \(m(z)\ge1\) とする。不変性は，すべての \(z\) について \(m(z)=\sum_{w\in S,\ w^{2}=z}m(w)\) が成り立つことである。\(z\in S\) とすれば \(S\) の各元は \(S\) 内に平方根をもち，\(z\notin S\) とすれば2乗写像は \(S\) を \(S\) に写す。よって \(f(z)=z^{2}\) は有限集合 \(S\) からそれ自身への全射であり，したがって全単射である。このとき関係式は \(m(z)=m(f^{-1}(z))\) となり，重複度は \(f\) の各サイクル上で一定である。\(S\) は有限であるから，各 \(z\in S\) はある \(k\ge1\) について \(z^{2^{k}}=z\) をみたし，\(z=0\) であるか奇数位数の1の冪根である。逆に，\(0\) と奇数位数の1の冪根全体からなる集合を \(T\) とすれば，\(f\) は \(T\) の置換であり（奇数位数の1の冪根の上で2乗は可逆である），\(T\) 内の有限個の \(f\) サイクルの和集合に，各サイクル上一定の重複度を与えたものは不変な多重集合である。したがって求める多項式は，\(T\) 上の \(f\) の各サイクル \(C\) に非負整数 \(m_{C}\) を対応させ，\(\sum_{C}m_{C}|C|=n\) をみたすものと一対一に対応する。

第3段：サイクルを数える。長さがちょうど \(L\) のサイクルの個数を \(c_{L}\) とおく。周期が \(L\) を割り切る \(T\) の点は \(z^{2^{L}}=z\) の解，すなわち \(0\) と \(z^{2^{L}-1}=1\) の相異なる \(2^{L}-1\) 個の根であり，ちょうど \(2^{L}\) 個ある。これをサイクルごとに数えると \[\sum_{d\mid L}d\,c_{d}=2^{L}\qquad(L\ge1)\] を得る。特に各 \(c_{L}\) は有限であり，求める個数も有限である。

第4段：母関数。総数 \(n\) の許される多重集合の個数は，\(F(t)=\prod_{L\ge1}(1-t^{L})^{-c_{L}}\) における \(t^{n}\) の係数である。対数をとると \[\ln F(t)=\sum_{L}c_{L}\sum_{j\ge1}\frac{t^{Lj}}{j}=\sum_{N\ge1}\frac{t^{N}}{N}\sum_{L\mid N}L\,c_{L}=\sum_{N\ge1}\frac{(2t)^{N}}{N}=-\ln(1-2t)\] となる。よって \(F(t)=1/(1-2t)\) であり，\(n\) 次の多項式の個数は \(2^{n}\) である。（これは円分恒等式，すなわち周期が \(N\) を割り切る点がちょうど \(2^{N}\) 個ある写像の力学系ゼータ関数のオイラー積である。）たとえば \(n=2\) のとき，4個の多項式は \(x^{2}\)，\(x(x-1)\)，\((x-1)^{2}\)，\(x^{2}+x+1\) である。

行った検証。約数関係式から得た \(c_{L}\) を，\(L\le6\) について \(2^{L}-1\) を法とする2倍写像の直接列挙と比較した。\(\prod(1-t^{L})^{-c_{L}}\) の係数を厳密に展開し，\(n\le14\) で \(2^{n}\) に等しいことを確かめた。さらに根の議論とは独立に，\(n=1,2,3,4\) について \(P(x^{2})=(-1)^{n}P(x)P(-x)\) の係数方程式を3000個のランダムな複素初期値からニュートン法で解き，相異なる解がちょうど \(2,4,8,16\) 個であることを確認した。