数学 / 積分実験室
ガンマとベータ
PDFをダウンロード ↗（英語PDF）2つの関数が、複雑な積分のファミリーを変数変換によって扱えるようにする。
01 / 面積を確認する
積分によって定義される関数
02 / 2つの関数を理解する
階乗の拡張。端点のペアリング。
すべての実数パラメータについて仮定する。基本的な置換、部分積分、および不適切な積分が必要です。中心的な課題は定積分の評価であり、基本的な原始関数は不要です。
ガンマ：指数的減衰を持つべき乗
ゼロの近くでは被積分関数は \(t^{s-1}\) に近づき、これは \(s>0\) のときのみ積分可能である。無限大では指数的減衰はすべての固定べきを上回る。
シフトの重要性：\(\Gamma(4)=3!=6\)。また、\(\Gamma(1/2)=\sqrt\pi\) であるため、再帰関係によりすべての正の半整数が評価できる。
ベータ：区間の両端におけるべき乗
最初のパラメータは0の終点を制御し、2番目のパラメータは1の終点を制御する。\(t\)を\(1-t\)に置き換えると\(B(a,b)=B(b,a)\)が導かれる。
正の整数において、\(B(m,n)=(m-1)!(n-1)!/(m+n-1)!\)。ベータは未正規化された面積である。その被積分関数を\(B(a,b)\)で割ることで、面積1の確率密度が得られる。
なぜガンマ関数が階乗を拡張するのか？
\(u=t^s\)と\(dv=e^{-t}dt\)を使って部分数積分を行う。\(s>0\)では、両端で境界項は消える。
\(\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}dt=1\)であるため、帰納法により\(\Gamma(n+1)=n!\)が得られる。この積分はそれらの整数間の値を提供する。再帰関係だけでは、補間を一意に決めるわけではない。
Γ(1/2) = √π はどこから来るのか？
\(t=u^2\)を設定することで\(\Gamma(1/2)=2J\)を得る。ここで\(J=\int_0^\infty e^{-u^2}du\)。\(J\)を2乗し、第一象限における極座標を用いる：
被積分関数は非負であるため、積と変数変換は正当化される。\(J>0\)において\(J=\sqrt\pi/2\)となり、結果が得られる。
なぜベータはガンマ関数の比として表されるのか？
2つのガンマ積分の積から始めよう。被積分関数が非負であるため、トネリの定理により二重積分が可能である。\(r=u+v\)と\(t=u/(u+v)\)を用いるため、\(u=rt\)、\(v=r(1-t)\)、かつ絶対ジャコビアンは\(r\)となる。
最初の括弧は\(\Gamma(a+b)\)、二つ目は\(B(a,b)\)。正の数\(\Gamma(a+b)\)で割る。座標は総量\(r\)とその分数\(t\)を分離する。
03 / 変数変換
積分を構築する。その一致を確認する。
ある族を選択し、そのパラメータを調整する。変数変換、収束条件、値の更新が一貫している。この計算機は表示された4つの族を扱える。
小数値は近似値である。公式は正確な恒等式を示している。
置換
一致
04 / メソッドに従う
10問の具体例
例を一つ選んで、その後に置換、一致、評価のステップを進めていく。各例には端点チェックが含まれている。
05 / 形を認識する
積分領域ガイド
まず区間と問題となる式を確認し、それが指数関数、\(1-t\)、または\(1+t\)に変換されるような置換を選択する。その後、指数を一致させ、簡略化する。
| 積分 | 置換と結果 | 条件 |
|---|---|---|
| \(\int_0^\infty x^{p-1}e^{-cx^r}dx\) | \(t=cx^r\) \(\Gamma(p/r)/(r c^{p/r})\) | \(p,c,r>0\) |
| \(\int_0^L x^{a-1}(L-x)^{b-1}dx\) | \(x=Lt\) \(L^{a+b-1}B(a,b)\) | \(a,b,L>0\) |
| \(\int_0^1x^{p-1}(1-x^r)^{q-1}dx\) | \(t=x^r\) \(B(p/r,q)/r\) | \(p,q,r>0\) |
| \(\int_0^\infty\frac{x^{p-1}}{(1+cx^r)^q}dx\) | \(t=cx^r\) \(B(p/r,q-p/r)/(r c^{p/r})\) | \(c,r>0\), \(0<p<rq\) |
| \(\int_0^{\pi/2}\sin^m\theta\cos^n\theta d\theta\) | \(t=\sin^2\theta\) \(\tfrac12 B((m+1)/2,(n+1)/2)\) | \(m,n>-1\) |
| \(\int_0^1x^{p-1}(-\ln x)^{q-1}dx\) | \(t=-\ln x\) \(\Gamma(q)/p^q\) | \(p,q>0\) |
| \(\int_0^\infty\frac{x^{p-1}}{1+x^r}dx\) | ベータ関数に直し、反射公式を使う \(\pi/[r\sin(\pi p/r)]\) | \(r>0\), \(0<p<r\) |
DLMF §5.9.1§5.12.1–3§5.5.3から、ここでは変数変換によって導く。
ベータ関数で無限区間の積分も表せるのはなぜ？
\(B(a,b)\) に \(t=u/(1+u)\) を代入する。すると \(1-t=1/(1+u)\), \(dt=du/(1+u)^2\), および \([0,1)\) は \([0,\infty)\) になる。
上の有理関数型では、ゼロ付近の収束に \(p>0\) が必要です。無限遠では被積分関数が \(x^{p-1-rq}\) のように振る舞うため、\(p<rq\) が必要です。これは、ベータ関数の二つの引数がともに正になる条件と一致します。
最後の行の前に確認すべき一般的な誤り
一つずれる誤り：べき \(t^k\) に対応するのは \(\Gamma(k+1)\) です。倍率の抜け：\(dx\) も変換します。ベータ関数の引数の誤り：有理関数型の分母の指数は \(a+b\) であり、\(b\) ではありません。積分範囲の誤り：ここでの三角関数の恒等式は \([0,\pi/2]\) の範囲に対するものです。発散：形式的なガンマ関数の比だけでは、端点での収束確認を省略できません。
06 / 自分でやってみよう
8つの練習積分
各積分に対して収束性を確認し、関数族を特定し、解説を書く。その後、解答を開く前に、1つの積分は発散する。
出典および範囲
定義および標準恒等式は、NIST 数学関数のデジタルライブラリと確認された。実際の値および電卓での検証は数値的に確認されたが、数値検証は計算を補助するにとどまり、収束性の議論を代替しない。
§5.2: ガンマ関数の定義とディガンマ関数§5.4: 特殊値§5.5: 再帰性と反射性§5.9: 積分表現§5.12: ベータ積分図は被積分関数を示しており、Γ(s) のグラフまたは標準化された確率密度関数のグラフではない。各図の端点および尾は、それぞれの図の下に示されている。表示された値は、対数形式で評価されたガンマ恒等式を使用している。すべての例は、通常の実数の不適切積分に関するものである。