Möbius 変換
分数線形で大域的に幾何学的
T(z) = (az + b)/(cz + d), ad − bc ≠ 0例外点 z = −d/c は ∞ へ写り、c ≠ 0 なら ∞ は a/c へ写ります。行列は全体の非零スカラー倍を同一視して写像を表します。
合成は行列積、逆写像は逆行列です。これが幾何の硬さの一因です。
インタラクティブ射影幾何
円・極・
射影的変化。
Möbius 変換は Riemann 球面の分数線形対称性です。Schwarzian 微分は、正則写像が Möbius でないことを初めて検出する微分量です。
二つの視尺度まず極の周りで格子全体が曲がる様子を見て、次にどんな Möbius 近似でも消せない局所三階残差を調べます。
不変な族
円は直線を含む
Riemann 球面では通常の直線は ∞ を通る円です。したがって Möbius 写像は円または直線を円または直線へ送ります。
局所幾何
角度は保存される
T′(z) = (ad − bc)/(cz + d)² は T が有限な場所で 0 ではないため、極を除いて等角です。
Schwarzian
三階の障害
S(f) = f‴/f′ − (3/2)(f″/f′)²S(f) は f が局所的に Möbius のとき、かつそのときに限り 0 です。Möbius 写像による後合成を無視します。
連鎖律
射影曲率の合成
S(f ∘ g) = (S(f) ∘ g)(g′)² + S(g)微分の二乗は二次微分形式に自然な重みです。
代表例
Schwarzian の小ギャラリー
- S(zⁿ) = (1 − n²)/(2z²)
- S(eᵃᶻ) = −a²/2
- S(tan az) = 2a²
- S(log z) = 1/(2z²)