線形方程式
積の微分を逆に使う
y′ + P(x)y = Q(x), μ(x) = exp(∫P(x)dx)μ′ = Pμ なので、両辺を μ 倍すると μy′ + μPy = (μy)′ です。一度積分して μy = ∫μQ dx + C を得ます。
∫P の積分定数は μ 全体を定数倍するだけなので捨てられます。
インタラクティブ微分方程式
一つの乗数、
二つの発見。
積分因子とは、方程式を「すでに積分方法を知っている何かの微分」へ変えるために選ぶ関数です。
代数と幾何の一致線形 ODE では積の微分を作り、微分形式では解を等位曲線として持つポテンシャルを作ります。
微分形式
完全性を検査する
M dx + N dy = 0 で完全性は Mᵧ = Nₓ を意味します。このとき Fₓ = M、Fᵧ = N となるポテンシャル F があり、解は F = C です。
修復
交差偏微分を一致させる
(μM)ᵧ = (μN)ₓ となる μ を探します。(Mᵧ − Nₓ)/N が x だけの関数なら μ(x) = exp(∫[(Mᵧ − Nₓ)/N] dx) です。
定義域
0 を黙って横切らない
μ が有限で 0 でない場所だけで解曲線は保存されます。μ = x のような因子では x > 0 と x < 0 を分けます。
共鳴
例外パラメータを見る
y′ + py = eˣ では eˣ/(p+1) は p = −1 で破綻します。正しい特殊解には x が付き xeˣ になります。
判断手順
積分前に分類する
- y′ + Py = Q なら μ = e∫P。
- Mdx + Ndy = 0 ならまず Mᵧ = Nₓ を検査。
- 完全でなければ μ(x) または μ(y) の条件が一変数に落ちるか確認。
- 解いた後、元の方程式へ微分して戻して検算。