ヤコビアン
最良の局所線形写像
F: ℝⁿ → ℝᵐ に対し、i 行 j 列は ∂Fᵢ/∂xⱼ です。したがって DF(p)h は、小さな入力変位 h が生む出力変化を予測します。
F(p + h) = F(p) + DF(p)h + o(‖h‖)正方行列なら det DF は符号付き局所体積倍率です。行列式が 0 なら少なくとも一つの微小方向が潰れます。
インタラクティブ微分幾何
三つの配列、
三つの仕事。
ヤコビアンは微小ベクトルを写し、ロンスキー行列式は解の状態が張る面積を測り、ヘッセ行列は傾きそのものの変化を記録します。
統一する考えどれも微分を線形代数へまとめ、幾何に推論の一部を任せます。
ロンスキー行列式
状態空間の面積
二つのスカラー関数では W = y₁y₂′ − y₂y₁′ は状態ベクトル (y, y′) が張る符号付き面積です。一点で W ≠ 0 なら独立性が保証されます。
重要な注意
0 の逆は常には成り立たない
任意の微分可能関数では W ≡ 0 でも従属とは限りません。同じ正則な線形 ODE の解なら Abel の恒等式により全か無かの結論が戻ります。
ヘッセ行列
方向曲率
スカラー場 f の Hᶠ は全ての二階偏微分を含みます。単位方向 u の二階方向微分は uᵀHᶠu です。
分類
固有値の符号を読む
臨界点で固有値が二つとも正なら局所最小、二つとも負なら最大、符号が混ざれば鞍点です。0 があれば二次判定は不十分です。
信頼できる計算
添字を見えるままにする
- ヤコビアン：出力を行、入力を列に置く。
- ロンスキー行列式：関数の順序と微分の行を一貫させる。
- ヘッセ行列：f が C² なら混合偏微分は一致する。非対称は通常代数ミス。
- 行列式は定義域・値域・単位と共に解釈する。