2026年11月1日の解答

答え. \(n=2025\) である。

第1段: \(\mathbb F_2\) 上の線形代数に翻訳する. \(N=2026\) とおき，\(A_i\) の指示ベクトルを \(v_i\in\mathbb F_2^n\) とする。任意の集合について \(|A_i\cap A_j|\equiv v_i\cdot v_j \pmod 2\) である。\(\mathbf 1=(1,\dots,1)\) とおくと \(v\cdot v=v\cdot\mathbf 1\equiv|A|\pmod 2\) であるから，各 \(|A_i|\) が偶数であるという条件は，すべての \(v_i\) が超平面 \(H=\mathbf 1^{\perp}\) に属することと同値である。\(i-j\equiv\pm1,\pm2\pmod N\) のとき \(M_{ij}=1\)，それ以外 (対角成分を含む) では \(M_{ij}=0\) とおいて \(\mathbb F_2\) 上の \(N\times N\) 行列 \(M\) を定める。\(v_i\) を行とする \(N\times n\) 行列を \(V\) とすると，条件全体は \(VV^{T}=M\) と書ける。

すぐに思いつくのは \(n\ge\operatorname{rank}V\ge\operatorname{rank}M\) という評価と，約 \(N\) 点の上に具体的な集合族を作る試みである。しかしどちらも正しい値を与えない。階数による評価は \(1\) だけずれており，構成は抽象的に行うのが最も簡単である。

第2段: \(M\) の階数は 2024 である. \(M\) は巡回行列である。座標 \(k\) を \(x^k\) に対応させて \(\mathbb F_2^N\) を \(R=\mathbb F_2[x]/(x^N-1)\) と同一視すると，\(M\) は \(a(x)=x+x^2+x^{N-1}+x^{N-2}=x^{-2}(1+x+x^3+x^4)=x^{-2}(1+x)^2(1+x+x^2)\) を掛ける写像であり，\(x^{-2}\) は \(R\) の単元である。\(g\in\mathbb F_2[x]\) と \(d=\gcd(g,x^N-1)\) に対し，\(R\) 上の \(g\) 倍写像の核は \((x^N-1)/d\) の倍元全体であり，その次元は \(\deg d\) である。\(\mathbb F_2\) 上では \(x^{2026}-1=(x^{1013}-1)^2\) であり，これは \((1+x)^2\) で割り切れる。一方 \(1+x+x^2\) は既約で，その根は \(1\) の原始 \(3\) 乗根であるから，\(x^{1013}-1\) を割り切るのは \(3\mid1013\) のときに限るが，これは成り立たない。よって \((x^{1013}-1)^2\) も割り切らない。ゆえに \(d=(1+x)^2\)，\(\dim\ker M=2\)，\(\operatorname{rank}M=2024\) を得る。

第3段: 下界 \(n\ge2025\). \(V\) の行はすべて次元 \(n-1\) の \(H\) に属する。したがって \(2024=\operatorname{rank}M=\operatorname{rank}(VV^T)\le\operatorname{rank}V\le n-1\) となり，\(n\ge2025\) を得る。集合の要素数が偶数であることが，階数よりちょうど \(1\) 次元多くを要求するのである。

第4段: \(n=2025\) での構成. \(\mathbb F_2^N\) 上の双線形形式 \(B(x,y)=x^{T}My\) を考える。これは対称で対角成分が \(0\) であるから \(B(x,x)=\sum_{i\ne j}M_{ij}x_ix_j=2\sum_{i<j}M_{ij}x_ix_j=0\) となり，交代形式である。その根基は \(K=\ker M\) であるから，\(W=\mathbb F_2^N/K\) は非退化な交代形式をもつ \(2024\) 次元の空間である。

補題. 有限次元空間上の非退化な交代形式は，\(B(p_s,q_s)=1\) かつ他の組の値がすべて \(0\) となるシンプレクティック基底 \(p_1,q_1,\dots,p_k,q_k\) をもつ。実際，\(p\ne0\) をとると，非退化性から \(B(p,q)=1\) となる \(q\) が存在する。\(\langle p,q\rangle\) の直交補空間は補空間であり，その上で形式は再び非退化であるから，帰納法で示される。したがって同じ次元のこのような空間どうしは等長である。一方のシンプレクティック基底を他方のものに写せばよい。

そこで \(n=2025\) とし，通常の内積を備えた \(\mathbb F_2^{2025}\) の超平面 \(H=\mathbf 1^{\perp}\) を考える。\(x\in H\) はすべて \(x\cdot x=x\cdot\mathbf 1=0\) をみたすから内積は \(H\) 上で交代的であり，\(\dim H=2024\) である。\(\mathbb F_2\) において \(\mathbf 1\cdot\mathbf 1=2025=1\) であるから \(\mathbf 1\notin H\) であり，根基は \(H\cap H^{\perp}=H\cap\langle\mathbf 1\rangle=\{0\}\) となる。\(n=2025\) が奇数であることはここで効いている。補題により等長写像 \(\varphi:W\to H\) が存在する。\(v_i=\varphi(e_i+K)\) とおき，\(A_i\) を \(v_i\) の台とする。すると \(v_i\in H\) であるから \(|A_i|\) は偶数であり，\(i\ne j\) に対して \(v_i\cdot v_j=B(e_i,e_j)=M_{ij}\) となる。これはまさに求められた偶奇の型である。

結論. \(n\) の最小値は \(2025\) であり，交わりの型の階数 \(2024\) より \(1\) 大きい。

検証. \(\mathbb F_2\) 上の \(2026\times2026\) 行列の階数を掃き出し法で計算し \(2024\) を得た。第4段の構成を両側でのシンプレクティック・グラム・シュミット法として実装し，\(\{1,\dots,2025\}\) の相異なる偶数個の部分集合 \(2026\) 個を得て，\(2026\cdot2025/2\) 組すべての交わりの偶奇が条件と一致することを確かめた。また \(2026\) を \(7,8,9\) に置き換えた小さな場合について全探索を行い，階数に \(1\) を加えた値が達成され，それより \(1\) 少ない点数では不可能であることを確認した。