2026年10月27日の解答

\(g=f^{-1}\)，\(I=\int_0^1 f(x)g(x)\,dx\) とおく。\(g\) も \([0,1]\) 上の連続な狭義単調増加の全単射である。答えは \(I\) の最大値 \(\tfrac13\) であり，これを与えるのは \(f(x)=x\) のみである。

素直な方法が通用しない理由。 相加相乗平均より \(fg\le\tfrac12(f^2+g^2)\) であり，\(\int_0^1 g^2=1-2\int_0^1 xf(x)\,dx\) を用いると \(I\le\tfrac13+\tfrac12\int_0^1(f(x)-x)^2\,dx\) となるが，これは不等号の向きが逆である。コーシー・シュワルツの不等式は \(I^2\le\int f^2\int g^2\) を与えるが，右辺の積は \(\tfrac19\) を超えうる（適当な折れ線の \(f\) で約 \(0.144\)）。置換に対する離散版なら並べ替え不等式で直ちに片付くが，ここでは \(f(X)\) と \(g(X)\) の分布が一致しないので役に立たない。新しい発想が必要である。

第1段：積分を確率として読む。 \(X,Y,Z\) を \([0,1]\) 上の独立な一様確率変数とする。\(x\) を固定すると，\(g(Y)<x\) は \(Y<f(x)\) と同値であるから \(\Pr(g(Y)<x)=f(x)\) であり，また \(\Pr(Z<g(x))=g(x)\) である。\(X\) で条件づけて独立性を用いれば

\[I=\Pr\bigl(g(Y)<X\ \text{かつ}\ Z<g(X)\bigr)\]

を得る。

第2段：巡回させた3つの事象。 3つの比較 \(r_1=[g(Y)<X]\)，\(r_2=[g(X)<Z]\)，\(r_3=[g(Z)<Y]\) を考える。等号の場合は確率 \(0\) であるから，第1段の事象は零集合を除いて \(A=\{r_1\ \text{が真},\ r_2\ \text{が偽}\}\) である。\((X,Y,Z)\) の同時分布を変えない置き換え \(X\to Y\to Z\to X\) を施すと，\(A\) は \(B=\{r_3\ \text{が真},\ r_1\ \text{が偽}\}\) に，もう一度施すと \(C=\{r_2\ \text{が真},\ r_3\ \text{が偽}\}\) に移る。よって \(\Pr(A)=\Pr(B)=\Pr(C)=I\) である。

この3つの事象はどの2つも排反である。実際，\(A\) は \(r_1\) が真，\(B\) は \(r_1\) が偽であることを要求し，\(B\) と \(C\) は \(r_3\) について，\(C\) と \(A\) は \(r_2\) について同様に矛盾する。したがって \(3I=\Pr(A\cup B\cup C)\le 1\)，すなわち \(I\le\tfrac13\) である。

さらに精密に，真偽の組が \(A\cup B\cup C\) に属さないのは \(r_1=r_2=r_3\) のときに限る。\(r_1\) が真なら，\(A\) を避けるために \(r_2\) は真，次に \(C\) を避けるために \(r_3\) も真となる。\(r_1\) が偽なら，\(B\) を避けるために \(r_3\) は偽，次に \(C\) を避けるために \(r_2\) も偽となる。ゆえに条件をみたすすべての \(f\) に対して

\[I=\frac{1-\Pr(r_1=r_2=r_3)}{3}\]

が成り立つ。

第3段：恒等関数で等号が成立する。 \(f(x)=x\) のとき，3つの比較がすべて真なら \(Y<X<Z<Y\) となって不可能であり，すべて偽なら \(Y\ge X\ge Z\ge Y\) となって確率 \(0\) の事象である。よって \(I=\tfrac13\) であり，これは \(\int_0^1x^2\,dx\) からも確かめられる。

第4段：他の関数では等号は成立しない。 \(f\) が恒等関数でなければ \(g\) も恒等関数でなく，ある \(t\in(0,1)\) で \(g(t)\ne t\) となる。\(g(t)<t\) の場合，\(\varepsilon=(t-g(t))/3\) とおき，連続性により \(\delta\in(0,\varepsilon)\) を，\(|u-t|<\delta\) ならば \(|g(u)-g(t)|<\varepsilon\) となり，かつ \((t-\delta,t+\delta)\subset[0,1]\) となるようにとる。このとき区間内の \(u,v\) に対して \(g(u)<g(t)+\varepsilon=t-2\varepsilon<t-\delta<v\) が成り立つ。よって \(X,Y,Z\) がすべてこの区間に入れば3つの比較はすべて真であり，\(\Pr(r_1=r_2=r_3)\ge(2\delta)^3>0\) を得る。\(g(t)>t\) の場合も同様に，\(t\) の近くの \(u,v\) で \(g(u)>v\) となり，3つの比較がすべて偽となる事象が正の確率をもつ。いずれにしても \(I<\tfrac13\) である。

結論。 最大値は \(\tfrac13\) であり，これを与えるのは \(f(x)=x\) のみである。参考までに，\(f(x)=x^a\) では \(I=1/(a+1/a+1)\) となり，条件をみたす \(f\) 全体での下限は \(0\)（達成されない）である。

検証。 折れ線で表した単調増加全単射 3000 個を無作為に調べたところ \(I\) は \(0.33333\) を超えず，最良のものは恒等関数に近かった。等式 \(I=(1-\Pr(r_1=r_2=r_3))/3\) は無作為な4つの \(f\) について \(4\times10^6\) 標本のモンテカルロ法で確認し，誤差は \(3\times10^{-4}\) 以内であった。また \(x^a\) の族は数値積分で \(1/(a+1/a+1)\) と一致した。