Daily Mathematics / 解答
2026年10月7日の解答
この日のカードは難しい定積分とオリジナルのパトナム型の問題の2枚である。まず自分で考え、詰まったら解答を開くこと。
積分
対数を分母にもつ三角関数の積分
次の積分を閉じた形で求めよ。
\[\int_0^{\pi/2}\frac{x\sin 2x-\cos 2x\,\ln(2\cos x)}{x^2+\ln^2(2\cos x)}\,dx\]解答を開く
この積分を \(I\) とおき，\(L(x)=\ln(2\cos x)\) と書く。被積分関数は \([0,\pi/2)\) で連続である。実際，分母 \(x^2+L^2\) は \(x>0\) で正であり，\(x=0\) では \(\ln^2 2\) に等しい。\(x\to\pi/2^-\) のとき \(L\to-\infty\) であるから，被積分関数は \(-\cos 2x/L\to0\) のように振る舞う。よって有界であり，\(I\) は存在する。使える原始関数はなく，\(t=\tan x\) や \(u=2\cos x\) のような実の置換は対数の位置を動かすだけである。鍵は，分母が絶対値の二乗 \(x^2+L^2=|L+ix|^2\) であり，しかも \(L+ix\) がそれ自体ひとつの複素対数であることに気づくことである。
第1段：被積分関数はひとつの複素関数の実部である。\(|x|<\pi/2\) のとき
\[1+e^{2ix}=e^{ix}\bigl(e^{-ix}+e^{ix}\bigr)=2\cos x\;e^{ix}\]であり，\(2\cos x>0\)，\(|x|<\pi\) であるから，主値の対数は \(\operatorname{Log}(1+e^{2ix})=L(x)+ix\) となる。したがって
\[\frac{e^{-2ix}}{\operatorname{Log}(1+e^{2ix})}=\frac{(\cos 2x-i\sin 2x)(L-ix)}{L^2+x^2},\qquad \operatorname{Re}\frac{e^{-2ix}}{\operatorname{Log}(1+e^{2ix})}=\frac{L\cos 2x-x\sin 2x}{x^2+L^2}\]を得る。これは被積分関数の符号を変えたものであり，\(L\) が偶関数なので \(x\) について偶関数である。ゆえに
\[I=-\frac12\,\operatorname{Re}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{e^{-2ix}\,dx}{\operatorname{Log}(1+e^{2ix})}.\]第2段：周回積分。\(g(z)=\dfrac{1}{z^2\operatorname{Log}(1+z)}\) とおく。\(|z|<1\) では \(\operatorname{Re}(1+z)>0\) であるから \(\operatorname{Log}(1+z)\) はそこで正則であり，\(z=0\) でのみ0になる。よって \(g\) は穴あき単位円板で正則である。\(0\) の近くで \(\operatorname{Log}(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots\) であり，\(\bigl(1-\frac z2+\frac{z^2}{3}-\cdots\bigr)\bigl(1+az+bz^2+\cdots\bigr)=1\) を解くと \(a=\frac12\)，\(b=\frac a2-\frac13=-\frac1{12}\) となる。したがって
\[\frac{z}{\operatorname{Log}(1+z)}=1+\frac z2-\frac{z^2}{12}+O(z^3),\qquad g(z)=\frac{1}{z^3}\Bigl(1+\frac z2-\frac{z^2}{12}+\cdots\Bigr)\]であり，\(g\) の \(0\) における留数はグレゴリー係数 \(-\frac1{12}\) である。留数定理より，任意の \(0<r<1\) に対して
\[\oint_{|z|=r}g(z)\,dz=2\pi i\cdot\Bigl(-\frac1{12}\Bigr)=-\frac{\pi i}{6}.\]第3段：半径を1に近づける。\(z=re^{i\theta}\)，\(-\pi<\theta<\pi\) とおくと，この積分は \(\frac ir\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{-i\theta}\,d\theta}{\operatorname{Log}(1+re^{i\theta})}\) に等しい。集合 \(\frac12\le|z|\le1\)，\(z\ne-1\) 上で \(|\operatorname{Log}(1+z)|\) は連続かつ0にならず，\(z\to-1\) で \(+\infty\) に発散する（実部が \(\ln|1+z|\) だからである）。よってそこである \(\delta>0\) で下から押さえられる。したがって \(r\ge\frac12\) で被積分関数は \(2/\delta\) で一様に有界であり，\(\theta\ne\pm\pi\) で各点収束する。優収束定理により
\[i\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{-i\theta}\,d\theta}{\operatorname{Log}(1+e^{i\theta})}=-\frac{\pi i}{6},\qquad\text{すなわち}\qquad\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{-i\theta}\,d\theta}{\operatorname{Log}(1+e^{i\theta})}=-\frac{\pi}{6}.\]第4段：実軸に戻る。\(\theta=2x\) とおく。\(d\theta=2\,dx\) であり，\(x\) はちょうど第1段が使える範囲 \((-\pi/2,\pi/2)\) を動くから
\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{e^{-2ix}\,dx}{\operatorname{Log}(1+e^{2ix})}=-\frac{\pi}{12}\]を得る（被積分関数の虚部は奇関数なので，虚部が消えるのは当然である）。第1段より
\[I=-\frac12\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{12}\Bigr)=\frac{\pi}{24}.\]留数が \(\frac12\) である \(1/(z\operatorname{Log}(1+z))\) に同じ議論を適用すると，対になる値 \(\int_0^{\pi/2}\frac{\ln(2\cos x)}{x^2+\ln^2(2\cos x)}\,dx=\frac{\pi}{4}\) も得られる。
数値による確認。区間 \([0,\pi/2-\frac12]\) での120点ガウス・ルジャンドル複合求積に，端の部分を \(x=\pi/2-e^{-s}\)，\(s=\ln2+v/(1-v)\) で写したものを加え，40区画および200区画で計算すると \(0.13089969389957\ldots\) を得た。これは \(\pi/24\) と \(6\times10^{-17}\) 以内で一致する。対になる値 \(\pi/4\) も \(10^{-16}\) の精度で確かめた。
競技数学の問題
ベータ積分を成分とする行列の逆行列
\(n\) を正の整数とし，\(n\times n\) 行列 \(A\) の成分を次で定める。
\[a_{ij}=\frac{i!\,j!}{(i+j+1)!}\qquad(0\le i,j\le n-1).\]\(A\) が正則であることを示し，\(A^{-1}\) の \(n^2\) 個の成分の総和を求めよ。
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和は \((-1)^{n-1}n\) であることを示す。たとえば \(n=2\) のとき \(A=\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1/6\end{pmatrix}\)，\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&6\\6&-12\end{pmatrix}\) であり，成分の和は \(-2\) である。
直接の計算が行き詰まる理由。\(A\) はヒルベルト行列の親類に見えるが，コーシー行列ではないので逆行列の既製の公式はない。行基本変形をしても成分に目に見える規則は現れない。鍵は，\(A\) を数の配列として見るのをやめ，多項式の空間の二つの基底の間の内積として読むことである。
第1段：各成分はベータ積分である。オイラーのベータ積分により \(\int_0^1x^i(1-x)^j\,dx=B(i+1,j+1)=\frac{i!\,j!}{(i+j+1)!}\) である。次数 \(n-1\) 以下の実係数多項式全体を \(V\) とし，内積を \(\langle f,g\rangle=\int_0^1fg\,dx\) で定めると
\[a_{ij}=\bigl\langle x^i,(1-x)^j\bigr\rangle\]である。\(\{x^i\}_{i<n}\) と \(\{(1-x)^j\}_{j<n}\) はいずれも \(V\) の基底である。
第2段：正則性。\(Ay=0\) とし，\(q=\sum_jy_j(1-x)^j\in V\) とおく。すべての \(i<n\) で \(\langle x^i,q\rangle=0\) であり，\(x^i\) は \(V\) を張るから \(\langle q,q\rangle=0\)，すなわち \(q=0\) である。\((1-x)^j\) は一次独立なので \(y=0\) となる。よって \(A\) は正則である。
第3段：成分の和は一点での値である。すべての成分が1のベクトルを \(\mathbf 1\) とし，\(y=A^{-1}\mathbf 1\)，\(q(x)=\sum_jy_j(1-x)^j\) とおく。\(A^{-1}\) の成分の総和は \(\mathbf 1^{\mathsf T}A^{-1}\mathbf 1=\sum_jy_j=q(0)\) である。一方，方程式 \(Ay=\mathbf 1\) は，すべての \(i<n\) で \(\langle x^i,q\rangle=1\) となること，すなわち \(x^i\) の \(x=1\) での値を再現することを意味する。線形性より
\[\int_0^1r(x)\,q(x)\,dx=r(1)\qquad(r\in V)\]が成り立つ。つまり \(q\) は点 \(1\) における \(V\) の再生核である。第2段の議論から，この性質をもつ \(V\) の元は高々一つである。
第4段：ずらしたルジャンドル多項式。\(k\ge0\) に対し \(u_k(x)=x^k(x-1)^k\)，\(\widetilde P_k=\frac1{k!}\,u_k^{(k)}\) とおく。これはちょうど \(k\) 次の多項式であるから，\(\widetilde P_0,\dots,\widetilde P_{n-1}\) は \(V\) の基底をなす。次の四つの事実を用いる。
(a) 直交性。\(u_k\) とその \(k-1\) 階までの導関数は \(0\) と \(1\) で0になる。よって \(m<k\) のとき，部分積分を \(k\) 回行うと導関数はすべて \(\widetilde P_m\) に移り，そこで消える。ゆえに \(\langle\widetilde P_m,\widetilde P_k\rangle=0\) である。
(b) ノルム。同じ部分積分により \(\langle\widetilde P_k,\widetilde P_k\rangle=\frac{(-1)^k}{k!^2}\int_0^1u_k\,u_k^{(2k)}=\frac{(2k)!}{k!^2}\int_0^1x^k(1-x)^k\,dx=\frac{(2k)!}{k!^2}\cdot\frac{k!^2}{(2k+1)!}=\frac1{2k+1}\) を得る。
(c) 点1での値。ライプニッツの公式により，\(x=1\) で残る \(u_k^{(k)}\) の項は，\(k\) 回の微分がすべて \((x-1)^k\) に作用する項だけである。その項は \(k!\,x^k\) であるから \(\widetilde P_k(1)=1\) である。
(d) 点0での値。\(u_k(1-x)=u_k(x)\) より \(\widetilde P_k(1-x)=(-1)^k\widetilde P_k(x)\) であり，したがって \(\widetilde P_k(0)=(-1)^k\) である。
第5段：再生核と答え。\(q^*=\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)\widetilde P_k\in V\) とおく。各 \(m<n\) について，(a)，(b)，(c) より \(\langle\widetilde P_m,q^*\rangle=(2m+1)\cdot\frac1{2m+1}=1=\widetilde P_m(1)\) である。線形性によりすべての \(r\in V\) で \(\langle r,q^*\rangle=r(1)\) となるので，一意性から \(q^*=q\) である。(d) を用いると
\[\sum_{i,j}\bigl(A^{-1}\bigr)_{ij}=q(0)=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k(2k+1)=(-1)^{n-1}n\]を得る。最後の等号は \((-1)^{n-1}n-(-1)^{n-2}(n-1)=(-1)^{n-1}(2n-1)\) による帰納法で示される。項を \((1-3)+(5-7)+\cdots\) と組にしてもよい。
同じ方法をヒルベルト行列 \(\langle x^i,x^j\rangle\) に適用すると，再生核を \(0\) ではなく \(1\) で評価することになり，古典的な値 \(n^2\) が得られる。本問では第二の基底が \((1-x)^j\) であるため再生核を区間の反対側の端で読むことになり，\(\widetilde P_k(0)\) の符号の交代によって和が \(\pm n\) につぶれるのである。
確認。\(n=1,\dots,16\) について \(A\) を有理数で厳密に逆行列計算すると，成分の和は \(1,-2,3,-4,\dots,-16\) となり，主張どおりである。